足球外围买球app其上的点 A(r

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文章关键词:足球外围平台,稳定极限环

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  第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线作图法 第一节前言 第二节 极限环的存在性 ( Poincaré-Bendixson环域定理) 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 极限环不存在定理 ―――考虑Lienard方程 定理1. (7.12)有唯一的稳定极限环,若满足: Lienard方程是指下形方程 (7.12) g(-x)=-g(x),当x≠0时:xg(x)0 (2)对一切x ,f 及 g 连续,且g满足Lipschicz条件 (3)设 当x→±∞时F→±∞; (4)在x正半轴上F有唯一的零点 x=a (当0xa时,F(x)0; xa时F(x)单调增加)。 图6.1 V(x),y x o V(x) (6.9) 对应中心鞍点型奇点: 一半中心,一半鞍点(高次奇点---线性部分的特征根出现零根)。 将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开,得: 在一般情况下,对于V(n)≠0,当n为偶数时V为极值,当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线, x’0) V(x) o x V(x) 图 6.2 y p28 方程中不含速度项,为保守系统(机械能守恒); 方程中含有速度项,而速度项前的系数为常数或定号函数,为非保守系统; 方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数,则不能确定是否保守系统。 z x o 图 6.3 M z=f(x) 例:质点M沿绕铅直轴z以角速度ω旋转的导轨 z=f(x)滑动,由Lagrange 方程推得质点运动方程 (6.10) --速度项系数是变号函数。但是(6.10)有能量积分 (6.11) m-质量,h-常数。(6.10)为一保守系统。 其运动微分方程一般为 (6.12) (6.13)的奇点: (6.14) ? (6.13) f(x, λ)=0, 在平面内为一曲线 假定阴影区: f(x, λ) 0 ;其他区:f(x, λ) 0 可看出,当参数λ增大时,奇点数目随之变化。 f(x, λ) 0 λ 如令 (6.15) 则得(6.13)的积分曲线) 由于Vxx” (x, λ) = fx’(x, ?),因而在奇点x处: Vxx” (x, ?) 0 (fx’(x, ?)0)时,V-极小 ? 中心; Vxx” (x, ?) 0 (fx’(x, ?) 0)时,V-极大 ?鞍点; Vxx” (x, ?) = 0,但Vxx”’ ≠0时? 中心鞍点。 与不含参数的保守系统相同 x o 图 6.4 f(x, ?) 0 λ a a -中心 ( λ=λ1) 沿 x增加方向看f(x, ?)的变化,判断fx’(x, ?)的符号 b b -中心; c - 中心鞍点 (? = ?2) c d e d - 中心鞍点; e -中心 (? = ? 3) h g f f, h - 中心; g -鞍点 (? = ? 4) i j i -中心; j -中心鞍点 (? =? 5) ?2??3:中心,鞍点,中心 ? ?5:中心 ?2 , ?3 , ?5 –分岔点 (奇点数目变化) f(x, λ) 0 O M Z mg r 图6.5 解: 由质点的动量距定理,可得小球的运动微分方程为 例1. 一质量为m的小球,可沿一半径为 r 的大环滑动,此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦,试研究小球的运动. (6.17) (6.18) 曲线): 阴影区--- f (φ,λ)0; 其余区域--- f(φ,λ)0。 O 1 -1 图6.6 p - 平衡位置: ? =0, φ=(0, ±? ), 当 ? 1时; ?=0, φ=(0, ±? , ± cos-1? ),当?1时。 (6.19) 令 cosφ=? sinφ=0 相平面内轨线的分布情况(φ:-π ? π ): ω 1 O -1 p - A 同宿轨道 异宿轨道 B 中心 鞍点 λ1 此时共有三个鞍点(φ=0,±π)与两个中心(φ=±cos-1λ); A,B分别为通过ω=0,φ=0与ω=0,φ=±π 的分界线) 耗散系统属于非保守系统,其运动微分方程通常可表示为 (6.21) 满足 (6.22) 当 当 将 各项乘以 得 然后作对应上下限的积分,得 (6.23) 这表明,系统的能量是时间的单减函数。 (6.24) 对(6.23)求导 (6.21) (6.25) ------由(6.22)知 y=0时 g(x, y)=0,因而耗散系统(6.25)的奇点分布,与和它对应的保守系统的奇点分布相同,但奇点的性质却可能改变(中心变成焦、结点)。 例2. 考虑阻尼作用单摆的运动。 耗散项: 对应的保守系统为 共有三个平衡位置(中心,鞍点): 由于 ,故系统为耗散系统。 -? ? 焦点 例3. 研究系统 (6.26) 其中α0, g(φ)在[-π, π]上连续,且为2 π的周期函数,g(0)=0,g(0)’ ≠0,当φ≠0时φg( φ)0 ,g(π)=0。 显然,这是较例2更为一般情况,此时系统由三个奇点:ω=0,φ=0,±π,而且φ=0为稳定焦点或结点,φ=±π为鞍点。 (1) 等倾线) --等倾线 令k等于一系列不同的数值,得出一系列等倾线,在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向,然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。 例: 令 k1 k2 k3 (2) Liénard作图法 适用于有以下形式的微分方程 (6.34) (6.34)在相平面上积分曲线) 为了得到坐标为(x, y)的任意点A处积分曲线的切线方向,先在相平面上做出曲线) A (x, y) ? B (-Ф(y), y) ? C ? ? AE(? AC) 直线CA的斜率为 y x y x B O D C A(x, y) E 图6.11 它与(6.35) dy/dx的乘积等于-1,因而(6.35)积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直。 A (x, y) ? B (-Ф(y), y) ? C ? ? AE(? AC) 例4 受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统,其运动微分方程为 为了应用Liénard作图法,需使x的系数等于1。为此,作变换 ,即可将上式化为: y x o 然后,利用Liénard作图法,可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成,这些半圆在x轴上相连接,其圆心为 如图所示。 第七章 极限环 第一节 前 言 第二节 极限环的存在性 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 判断极限环不存在的定理 对于微分方程的积分曲线而言,它存在一条孤立的单闭曲线,而在其领域内的其他积分曲线,均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近,则这条闭曲线称为极限环。力学意义:孤立周期解 例1 (7.1) 极坐标形式 (7.2) 由此可见,r=0即x=y=0是一个奇点; 而r=1即x2+y2=1是一个周期解.而其它积分曲线都是螺线,即:当t→∞时θ→∞. 对于r1,有: 故r单调减少而趋于1; x y O 因而闭曲线) 故r单调增加而趋于1, 对于r1有: 例2 (7.3) 其积分曲线形状见图; ? 单闭曲线) x y O 对于 y O x 其积分曲线形状见图。 ?单闭曲线是半稳定极限环(即一侧不稳定另一侧不稳定) 解的稳定性(Liapunov) 轨道稳定性 ? ? ? ? 未扰 扰动 t0 t1 图7.4 环域定理 设在x-y平面上有两个单闭曲线内部。并满足下面两个条件(图7.4): (1) C1上之点的矢量场由C1的外部指向内部, C2上之点的矢量场由C2的内部指向外部; (2) C1及C2所围成的环行区域内无奇点; 则在该环域内至少存在一个稳定极限环C:C1 ? C ? C2 C1 一个C : 稳定; 二个C : 一个稳定,一个半稳定; 三个C : 中间稳,两边半稳;或中间不稳,两边半稳 (7.7) 以van der Pol方程为例说明环域定理的应用。足球外围买球app方程的形式为 令 则上式可化为: (7.8) (7.9) 再令x=y1,y=-x1, (7.8) ? 或 去掉下标将上式写为 (7.10) (7.11) 可见,它与(6.35)完全相同,所以其轨线方向可以用Liénard作图法求出。 先在相平面上做出曲线: x= - ?(y) 为应用环域定理证明van der Pol方程存在稳定的极限环, 先做环域的内境界线: 由此得: 如果取r2充分小,可使y23,从而有 这表明(7.10)的轨线 x y 图7.5 下页 下下页 环域的外境界线的构造: 画曲线 为极值点 上页 为中心的圆弧:A1B1 , C1D1 -----B1C1,B2C2则为二水平直线. 现证明,当 中的y充分大时,这样 作出的Γ2可使 只证明一个不等式(Γ2--原点对称): C2D2圆弧半径 当y充分大时 ----只要y足够大,总可以满足 用Liénard作图法容易得出,在Γ1上的轨线均是自外部指向内部。又(7.10)只有唯一的奇点--原点,因而Γ2,Γ2构成的环域内无奇点:vdP方程在该环域内至少存在一个稳定极限环。 上页 * 第三篇 定性理论 第一章 奇点 第二章 相平面法 第三章 极限环 内 容 第五章 奇 点 第一节 常点与奇点 第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响 第一节 常点与奇点 研究二维方程组 (5.1) (5.2) 点P(x0,y0)称为(5.1)的奇点,若: 反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零,则此点称为(5.1)的常点。 性质:过常点有唯一解,但奇点处解至少不唯一 由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点,因而总认为原点是(5.1)的奇点。 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数,得: (5.3) X2,Y2 ----所有二次项以上的全体. 则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。 第二节 一次奇点 (5.5) 研究以下线性系统 特征方程是 (5.6) 其特征根为 (5.8) (5.7) 其中 (5.9) 通过非奇异线异号 其解为 设λ1 0,λ2 0, 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示,这样的奇点为鞍点。 根据特征根的各种可能情况,对奇点进行分类: o x y 图5.1 p16 p17 p30 o x 图5.2 y λ 1, λ 2 为 相异负实根 若λ2λ10,则积分曲线在原点与 x 轴相切,如图示。反之,若λ1λ20,则积分曲线在原点与 y 轴相切。 —— 奇点称为稳定结点 对于q 0,p 0,p2-4q0,λ1、λ2为相异正实根,积分曲线方向远离原点。 ——奇点为不稳定结点 p17 p20 p16 q0,p0,p2-4q0,λ1,λ2为共轭复根且实部为负。 令λ1,λ2=-u +i v,其中u0, v0,将(5.5)化为: (5.10) x 图5.3 y o 再变换 x =r cosθ, y =r sinθ (5.10) ? (5.11) 其解为r= r0 e -ut,θ=θ0+ v t,相应的轨线如图 ——奇点为稳定焦点 q0, p0, p2-4q0:λ1,λ2为共轭复根但实部为正 ——奇点为不稳定焦点 p17 p16 (a) 初等因子是简单。(5.5)可化为: (5.12) (4)q0, p0, p2-4q=0, λ1λ2为一对负重根。这又可分为两种情况; y 图(5.4) x 0 其轨线形状如图 -----稳定临界结点. 其解为 (b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为: p17 (5.13) p16 所有轨线在原点均与轴相切,如图所示。 —稳定退化结点 y x o x o y 图5.5 当 当 q 0, p0, p2-4q=0:λ1,λ2 —— 一对正重根 ? 不稳定临界结点和退化结点 p17 (5) q0, p=0:λ1=-λ2 =vi,为一对共轭纯虚根 将(5.5)化为: (5.14) 其解为r=r0,θ=θ0+vt, 其轨线如图 ------奇点称为中心 图5.6 x o y 奇点分类如下: q0, 两根异号―鞍点; q0, p0, p2-4q0, 两根相异负实根―稳定结点; q0,p0,p2-4q=0, 两根为相等负实根―临界结点或退化结点。 q0,p0,p2-4q0, 两根为相异正实根―不稳定结点; q0,p0,p2-4q=0, 两根为相等正实根―临界结点或退化结点; q0,p0,p2-4q0, 两根为共轭复根,实部为负―稳定焦点; q0,p0,p2-4q0, 两根为共轭复根,实部为正―不稳定焦点。 q0,p=0, 两根为共轭纯虚根―中心. 稳定临界结点或退化结点 p o 图5.7 q 不稳定焦点 稳定焦点 中心 不稳定临界结点或退化结点 不稳定结点 稳定结点 鞍 点 高次奇点 高次奇点 p2-4q=0 汇 源 第三节 非线性项对奇点的影响 (A1) X2,Y2 ----所有高于二次项的全体. 研究以下非线性系统 相应的线) 则原点(零解)若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点,也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点(解的结构相同),且稳定性保持不变;但(A2)的临界或退化结点,对(A1) 来说其结构可能发生变化。 若满足: (A3) 定义2:设O(0, 0) 为孤立奇点, 若?点列 An(rn,θn),当n→∞时, rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ,αn为An点的方向场向量与向径夹角的正切,称θ=θ0为特征方向。 显然,若θ=θ0为固定方向,则必为特征方向 A r θ O 3.1 奇点的性质 定义1:设 L 为轨线, 其上的点 A(r,θ),当r→0时,θ→θ0 (t→∞ ),称L沿固定方向进入奇点O(0, 0). 鞍 点: 0,?/2, 3? /2,? 结 点: 0,?/2, 3? /2,? 焦 点: 无 退化结点: ?/2, 3? /2 或 0,? 临界结点:任意方向 p7 p8 p9 p10 p11 θ0 定义3: 轨线相交于P ,若P点向径与方向场夹角为: 0 αp ? ,则为正侧相交;? αp 2? ,则为负侧相交。 ?/2 αp 3?/2 ,则为正向相交;-?/2 αp ? /2,则为负向相交。 ① ② ③ ④ O ①正侧正向 ②正侧负向 ③负侧负向 ④负侧正向 定义4:O为奇点,扇形域 由OA, AB与弧AB围城,称为正常区域, 上满足: 除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段; 任意点的向径与方向场向量不垂直; 最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向. 结论: 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向: 即: 0  ̄ ? 或 ?  ̄ 2? 。因此有三类正常区域: O A B O A B O A B I II III O A B O A B O A B 结论: 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向: 即: 0  ̄ ? 或 ?  ̄ 2? 。因此有三类正常区域: I II III 引理:若Δ为正常区域 I ,从 OA, AB与AB上出发的轨线都进入O(当t→∞时); 若Δ为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧,从其上出发的轨线都进入O(当t→∞时); 若Δ为III , 有两种情况: (1) 没有轨线) ? P?OA或 AB: P?OA时, OP上出发的轨线都进入O; P?AB时, ?Q?OA?AP, 从Q出发的轨线 是 x, y 二次以上的函数,且满足(A3) 。令 x=rcosθ, y=rsinθ,运算可得: (A5) (A6) (A4) 考虑结点为稳定时, ?非奇异变换,将 (A1) 化为: 1. 结点情况 p7 dθ/dt = 0 ? θ = 0, ?/2, ? , 3? /2 ----特征方向 o x y ?1, ? 2 – 微小量;∵λ2λ1 0 ? r ? 0 ? dr/dt ? 0. ε1 ε2 ④ ① ② ③ ①, ③--正常区域 II; ②, ④--正常区域 I 结论:当?1 → 0, ①, ③内只有一对轨线当t → ∞时沿y轴方向趋于原点;其余轨线则均沿x方向趋于原点。 ? 原点为稳定结点。 p8 总之,若线性奇点为结点,加上非线性项之后仍为结点,并且稳定性保持不变。足球外围买球app p8 鞍点情况 两特征根均为实根:设λ10, λ20 (A7) (A8) ? ? ④ ① ② ③ x y I, III象限内 II, IV象限内 ? = 0, ?/2, ? , 3? /2 ―― 特征方向 鞍点情况 两特征根均为实根:设λ10, λ20 ε ε ④ ① ② ③ x y I, III象限内 II, IV象限内 θ = 0, ?/2, ? , 3? /2 ----特征方向 ①, ③--正常区域 II (t→∞) ②, ④--正常区域 II (t→-∞) o x y 结论:当ε→0, ①, ③内只有一对轨线沿y轴趋于原点(当t→-∞时); ②, ④内只有一对轨线沿x轴趋于原点(当t→∞时). ? 原点为鞍点 焦点与中心的情况 焦点情况与结点、鞍点相似:线性部分为焦点时,加上非线性项仍为焦点且稳定性不变; 对于线性部分为中心的情况,加上非线性项后,可能依然为中心,足球外围买球app但也可能变为(不)稳定焦点; 例: 线性部分为中心 x=r cos θ y=r sin θ 可见: 中心 稳定焦点 不稳定焦点 引理:系统(A1)的原点为中心的充分必要条件:存在与时间无关的正则积分: Fi – i 次齐次多项式 若满足: X(-x, y)= X(x, y) Y(-x, y)= -Y(x, y) 对于: (A8) (8)的轨线对称于y轴 若满足: X(x, -y)=-X(x, y) Y(x, -y)= Y(x, y) (8)的轨线对称于 x 轴 y x (A1) 能否给出判断稳定性的依据?? ---问题实质:如何确定奇点的性质与(A9)系数之间的关系。 (A9) Arnold 问题(1976年) 对于方程组: 齐 按照线性部分特征根的不同情况进行讨论. 分为以下几个方面: 两特征根为实根或共轭负根,此时奇点将为稳定或不稳定结点,焦点或不稳定鞍点; 两特征根为一对纯虚根,线性奇点为中心,加上高次项后,为中心或焦点; 两特征根一是零根,另一个正实根,奇点为不稳定; 两特征根一是零根,另一个负实根,这是所谓Lyapunov第一临界情况; 两特征根全为零根,又可分为两种情况: 初等因子是简单的,化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的,奇点为不稳定。 第一节 保守系统的基本性质 第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线的作图法 第六章 相平面法 第一节 保守系统的基本性质 一、保守系统 ----能量(机械能)保持守恒的系统。 单自由度系统的运动微分方程: 其积分曲线.), 系统的奇点为: y=0,f(x)=0 (6.4) ——系统奇点(若有的话)分布在 x 轴上 由(6.3),当 f(x)=0, y≠0时,有 =0,即轨线)求得积分曲线的方程: h 为常数----其力学意义为机械能守恒 (6.5) ? 在 h –V(x)≥0 的 x 区间内才有积分曲线对应势能的极值 其积分曲线方程(轨线邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项): 积分曲线)0 ? V(x0) —极小值? (6.8) —椭圆方程 奇点 x0 为中心; V?(x0)0 ?V(x0) —极大值? (6.8) —双曲线方程, ?故奇点为鞍点; V?(x0)=0 ? V(x0) —非极大极小? 拐点, 此时, 若 V (3)(x0)≠0, 积分曲线

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